广义高斯分布及其参数估计

广义高斯分布（GGD）被用作很多信号的分布模型，例如DCT变换或小波变换的系数都可以用广义高斯分布来描述。如果信号数据的均值不为零，可以通过减去这一均值得到零均值的分布，不影响对信号的分析和处理。 因此以下提到的广义高斯分布都是指零均值的。

广义高斯分布有两个参数：形状参数alpha和缩放参数beta。alpha为0.5、1和2时，GGD分别特化为Gamma分布、拉普拉斯分布和高斯分布。 alpha越大，GGD的概率密度函数图像越扁平，顶部越圆；alpha越小，图像越瘦窄，顶部越尖。当alpha趋于正无穷时，GGD趋于均匀分布。alpha趋于0时，GGD趋于带长尾的冲击分布。 缩放参数beta是指一个只影响横纵坐标轴的拉伸或压缩，而不改变曲线形状的参数。

对于一组特定的数据，假设它们符合广义高斯分布，我们为了进一步分析其性质，会希望得到该分布的参数。论文 《A fast parameter estimation of generalized Gaussian distribution》 提出了一个方法进行快速的参数估计。基本思路是提出一个比例函数的概念，该函数定义为为m1^2/m2，其中m1为一阶绝对矩，m2为二阶矩。公式推导出的该比值恰好是参数alpha的函数。 m1可以由数据的绝对值均值作为估计，m2可以由样本数据的方差作为估计，以此得出函数值。于是alpha就可以由反函数算出。alpha和beta之间由标准差相联系，知道了alpha和方差，就可以进一步算出beta。

上面提到的反函数形式过于复杂，可以通过查表或用简单的形式拟合其曲线来简化计算，最终得到一个兼顾复杂度和准确度的估计方法。